РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 594 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2013

Сложность: III

Тригонометрические уравнения

Найдите количество корней уравнения $32 синус 2x плюс 8 косинус 4x= минус 1$ на промежутке $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. Решим уравнение:

$32 синус 2x плюс 8 косинус 4x= минус 1 равносильно$
$равносильно 32 синус 2x плюс 8 левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате 2x правая круглая скобка = минус 1 равносильно$
$равносильно 16 синус в квадрате 2x минус 32 синус 2x минус 9=0.$

Сделаем замену: $t= синус 2x, t принадлежит левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка .$ Тогда:

$16t в квадрате минус 32t минус 9=0 равносильно совокупность выражений t= дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби ,t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$

Первый корень не удовлетворяет условию замены, следовательно,

$синус 2x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений 2x= минус арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,2x= Пи плюс арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,x= дробь: числитель: Пи плюс арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z . конец совокупности .$ $синус 2x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x= минус арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,2x= Пи плюс арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,x= дробь: числитель: Пи плюс арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z . конец совокупности .$

Отметим, что $арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби \approx 14 градусов.$ Рассмотрим значения x при различных значениях n:

$n= минус 1: совокупность выражений x= минус дробь: числитель: 14 градусов, знаменатель: 2 конец дроби минус 180 градусов,x= дробь: числитель: 180 градусов плюс 14 градусов, знаменатель: 2 конец дроби минус 180 градусов . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= минус 187 градусов \notin левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,x= минус 83 градусов принадлежит левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . конец совокупности .$

$n=0: совокупность выражений x= минус дробь: числитель: 14 градусов, знаменатель: 2 конец дроби ,x= дробь: числитель: 180 градусов плюс 14 градусов, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус 7 градусов принадлежит левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,x=97 градусов \notin левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . конец совокупности .$ $n=0: совокупность выражений x= минус дробь: числитель: 14 градусов, знаменатель: 2 конец дроби ,x= дробь: числитель: 180 градусов плюс 14 градусов, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= минус 7 градусов принадлежит левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,x=97 градусов \notin левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . конец совокупности .$

$n=1: совокупность выражений x= минус дробь: числитель: 14 градусов, знаменатель: 2 конец дроби плюс 180 градусов \notin левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,x= дробь: числитель: 180 градусов плюс 14 градусов, знаменатель: 2 конец дроби плюс 180 градусов \notin левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . конец совокупности .$ $n=$
$=1: совокупность выражений x= минус дробь: числитель: 14 градусов, знаменатель: 2 конец дроби плюс 180 градусов \notin левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,x= дробь: числитель: 180 градусов плюс 14 градусов, знаменатель: 2 конец дроби плюс 180 градусов \notin левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . конец совокупности .$

Таким образом, на промежутке $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ 2 корня.

Ответ: 2.

Ответ: 2

594

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2013

Сложность: III

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	594	2